Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A=D1D= ，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．

（Ⅰ）求證：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：如圖，連接CO，AC，

則四邊形ABCO為正方形，

∴OC=AB=A1B1，且OC∥AB∥A1B1

∴四邊形A1B1CO為平行四邊形，

∴A1O∥B1C，

又∵A1O平面AB1C，B1C平面AB1C，

∴A1O∥平面AB1C．…

（Ⅱ）∵D1A=D1D，O為AD的中點，

∴D1O⊥AD，又側面ADD1A1⊥底面ABCD，

∴D1O⊥底面ABCD，…

以O為原點，OC，OD，OD1所在直線分別為x軸，y軸，Z軸，

建立如圖所示的坐標系，

由題意得：C（1，0，0），D（0，1，0），

D1（0，0，1），A（0，﹣1，0），…

∴ ， =（0，﹣1，1），

=（0，﹣1，﹣1）， =（1，﹣1，0），

設 為平面CDD1C1的一個法向量，

則 ，∴ ，

令Z=1，則y=1，x=1，∴ ，…

設 為平面AC1D1的一個法向量，

則 ，∴ ，令Z1=1，

則y1=﹣1，x1=﹣1，∴ ，

∴ ，

∴所求銳二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值為 ．…

【解析】（1）連接CO，AC易證為平行四邊形，由此可證∥平面;（2）以O為坐標原點，OC，OD，為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用法向量求出銳二面角。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．