【題目】已知銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，b+c=10，a=
，5bsinAcosC+5csinAcosB=3a．
（1）求A的余弦值；
（2）求b和c．
【答案】（1）
；（2）b=c=5
【解析】
（1）把條件5bsinAcosC+5csinAcosB=3a中的邊化為角，可求A的正弦值，結合平方關系可得A的余弦值;
（2）利用余弦定理可求.
（1）∵5bsinAcosC+5csinAcosB=3a，
∴由正弦定理可得：5sinBsinAcosC+5sinCsinAcosB=3sinA，
∵sinA≠0，∴5sinBcosC+5sinCcosB=3，可得：sin（B+C）=
，
∵B+C=π
A，∴sinA=，∵A∈（0，
），∴cosA=
=
；
（2）∵a2=b2+c22bccosA=（b+c）22bc（1+cosA），又∵b+c=10，a=
，
∴解得：bc=25，∴解得：b=c=5．
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【題目】學校從參加高二年級期末考試的學生中抽出一些學生，并統計了他們的數學成績（成績均為整數且滿分為100分），所得數據整理后，列出了如下頻率分布表．
分組 | 頻數 | 頻率 |
[40，50） | A | 0.04 |
[50，60） | 4 | 0.08 |
[60，70） | 20 | 0.40 |
[70，80） | 15 | 0.30 |
[80，90） | 7 | B |
[90，100] | 2 | 0.04 |
合計 | C | 1 |
（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C的值；
（2）補全頻率分布直方圖，并利用它估計全體高二年級學生期末數學成績的眾數、中位數；
（3）現從分數在[80，90），[90，100]的9名同學中隨機抽取兩名同學，求被抽取的兩名學生分數均不低于90分的概率．
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【題目】已知函數
，
，（其中
是自然對數的底數）.
(1)若
，求函數
在
上的最大值.
(2)若，關于x的方程
有且僅有一個根，求實數k的取值范圍.
(3)若對任意的
、
，
，不等式
都成立，求實數a的取值范圍.
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【題目】在菱形
中，
，
為線段
的中點（如圖1）．將
沿
折起到
的位置，使得平面
平面
，
為線段
的中點（如圖2）．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）當四棱錐
的體積為
時，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】矩形ABCD中，
，沿對角線AC將三角形ADC折起，得到四面體
，四面體 外接球表面積為
，當四面體的體積取最大值時，四面體的表面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
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【題目】《中國詩詞大會》是央視推出的一檔以“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”為宗旨的大型文化類競賽節目，邀請全國各個年齡段、各個領域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識比拼。“百人團”由一百多位來自全國各地的選手組成，成員上至古稀老人，下至垂髫小兒，人數按照年齡分組統計如下表：
分組（年齡） |
|
|
|
頻數（人） |
|
|
|
（1）用分層抽樣的方法從“百人團”中抽取
人參加挑戰，求從這三個不同年齡組中分別抽取的挑戰者的人數；
（2）在（1）中抽出的人中，任選
人參加一對一的對抗比賽，求這人來自同一年齡組的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，
，
，
，
，E為AB的中點.將
沿CE折起，使點B到達點F的位置，且平面CEF與平面ADCE所成的二面角為
.
（1）求證：平面
平面AEF；
（2）求直線DF與平面CEF所成角的正弦值.
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