已知各項均為正數的數列
的前
項和為
，數列
的前項和為
，且
.
⑴證明：數列是等比數列，并寫出通項公式；
⑵若
對
恒成立，求
的最小值；
⑶若
成等差數列，求正整數
的值.
（1）證明見解析，
；（2）3；（3）
解析試題分析：（1）要證數列是等比數列，可根據題設求出
，當然也可再求
，雖然得出的
成等比數列，但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比，必須嚴格證明．一般方法是把已知式
中的用
代換得到
，兩式相減得
，這個式子中把用
代換又得
，兩式再相減，正好得出數列的前后項關系的遞推關系
，正是等比數列的表現．（2）由題間
，對不等式用分離參數法得
，求的最小值就與求
的最大值（也只要能是取值范圍）聯系起來了．（3）只能由成等差數列列出唯一的等式，這個等式是關于的二元方程，它屬于不定方程，有無數解，只是由于都是正整數，利用正整數的性質可得出具體的解．
試題解析：（1）當n=1時，
；當n=2時，
當n
3時，有
得：
化簡得：3分
又∴
∴是1為首項，
為公比的等比數列6分
（2）
∴
∴
11分
（3）若三項成等差，則有
，右邊為大于2的奇數，左邊為偶數或1，不成立
∴16分
考點：（1）等比數列的通項公式；（2）不等式恒成立與函數的最值；（3）不定方程的正整數解問題．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
定義:若數列{An}滿足An+1=
,則稱數列{An}為“平方遞推數列”.已知數列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數.
(1)證明:數列{2an+1}是 “平方遞推數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列.
(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項公式及Tn關于n的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項
，
…的最小值記為Bn，dn=An－Bn.
(I)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列(即對任意n∈N*，
)，寫出d1，d2，d3，d4的值；
(II)設d為非負整數，證明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數列；
(III)證明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，則{an}的項只能是1或2，且有無窮多項為1.
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的前
項和為
滿足
.
的前
.
}的前n項和為
，
．
，證明：數列
是等比數列；
的前
項和
；
，數列
的前
．
是公比大于1的等比數列，
為數列
項和．已知
，且
構成等差數列．
，求數列
的前n項和
.
，
，數列
滿足：
，
.
是等比數列（要指出首項與公比）；
的通項公式.
的前n項和為
,
是等比數列；
，數列
的前n項和為
，求不超過
的最大整數的值．
中，
．
通項公式；
，求證：
.