Question

【題目】已知四棱錐中，平面平面，且，

是等邊三角形， .

(1)證明： 平面；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) 見解析. (2) .

【解析】試題分析：（1）根據計算可得，根據面面垂直性質定理得平面，即得， 根據等腰三角形性質得，最后根據線面垂直判定定理得結論（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得各面法向量，根據向量數量積求兩法向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系得結果

試題解析：(1)在中， ,所以,

又是等邊三角形，所以,所以,即,

又因為平面平面，平面 平面，所以平面，故.在中， .

所以.

又因為 ,所以平面.

(2)解法一：如圖，取的中點，連接.則在等腰中， .又因為平面平面,平面 平面，所以平面.過點作的平行線，則平面.

由(1)知,故以為坐標原點，以直線分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.設,則在中， , .

又在中， ,

所以，故.

又因為是等邊三角形，所以.

所以, , , ，即.

所以, , .

設平面的法向量為，則由，

得.

令，得.故為平面的一個法向量.

因為平面，故為平面

的一個法向量.

故

.

設二面角為，則由圖可知,

所以.

解法二：取的中點，連接，連接并延長，交于，連接.則在等腰中， .

又因為平面平面，平面平面,

所以平面.

設,則在中， .

又在中， ，

所以

，故.

中， ，所以，且.

故,又,且,

所以,故.

又因為平面，由三垂線定理可得,

所以為二面角的平面角.

在中， ,所以.

故.所以在中， ,

故

∴二面角的余弦值為.