Question

【題目】如圖， 是圓的直徑，點是圓上異于的點， 垂直于圓所在的平面，且．

（1）若為線段的中點，求證平面；

（2）求三棱錐體積的最大值；

（3）若，點在線段上，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）．

【解析】試題分析：

(1)由等腰三角形三線合一可得，由線面垂直的定義可得，最后利用線面垂直的判斷定理可得平面．

(2)當底面ABC面積最大時，三棱錐體積由最大值，由幾何關系可得當時， 面積的最大值為，結合三棱錐體積公式可得三棱錐體積的最大值為．

(3)將將側面繞旋轉至平面C，使之與平面共面，由平面幾何的知識可知， ， 共線時， 取得最小值．結合箏形的性質計算可得的最小值為．

試題解析：

（1）在中，因為， 為的中點，所以．

又垂直于圓所在的平面，所以．

因為，所以平面．

（2）因為點在圓上，所以當時， 到的距離最大，且最大值為．

又，所以面積的最大值為．

又因為三棱錐的高，

故三棱錐體積的最大值為．

（3）在中， ， ，所以．

同理，所以．在三棱錐中，將側面繞旋轉至平面C，使之與平面共面，如圖所示．

當， ， 共線時， 取得最小值．

又因為， ，所以垂直平分，即為中點．

從而，

亦即的最小值為．