Question

【題目】（本小題滿分1６分）平面直角坐標系xoy中，直線截以原點O為圓心的圓所得的弦長為

（1）求圓O的方程；

（2）若直線與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于D，E，當DE長最小時，求直線的方程；

（3）設M，P是圓O上任意兩點，點M關于ｘ軸的對稱點為N，若直線MP、NP分別交于ｘ軸于點（ｍ，０）和（ｎ，０），問ｍｎ是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝2.（2）x＋y－2＝0.（3）見解析

【解析】

（1）求出O點到直線x﹣y+1=0的距離，進而可求圓O的半徑，即可得到圓O的方程；（2）設直線l的方程，利用直線l與圓O相切，及基本不等式，可求DE長最小時，直線l的方程；（3）設M（x1，y1），P（x2，y2），則N（x1，﹣y1）， ，，求出直線MP、NP分別與x軸的交點，進而可求mn的值．

（1）因為O到直線x－y＋1＝0的距離為 ，

所以圓O的半徑r＝＝，故圓O的方程為x2＋y2＝2.

（2）設直線l的方程為＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，

由直線l與圓O相切，得＝，即＝，

所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（）

＝2≥2

＝8(當且僅當a＝b＝2時等號成立)，

此時直線l的方程為x＋y－2＝0.

（3）設M(x1，y1)，P(x2，y2)，

則N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，

直線MP與x軸的交點為，即m＝ .

直線NP與x軸的交點為，即n＝.

所以mn＝ ＝

＝＝＝2，

故mn＝2為定值．