Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）= x2﹣kx；
（1）設k=m+ （m＞0），若函數h（x）=f（x）+g（x）在區間（0，2）內有且僅有一個極值點，求實數m的取值范圍；
（2）設M（x）=f（x）﹣g（x），若函數M（x）存在兩個零點x1 ， x2（x1＞x2），且滿足2x0=x1+x2 ， 問：函數M（x）在（x0 ， M（x0））處的切線能否平行于直線y=1，若能，求出該切線方程，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為h（x）=lnx+ x2﹣kx；

h′（x）= +x﹣k，

由題意可得：k≥ ，

m+ =k≥ ，

可得0＜m≤ 或m≥2，

綜上，m的取值范圍為{m丨0＜m≤ 或m≥2}

（2）解：假設，函數M（x）在（x0，M（x0））處的切線平行于直線y=1，

M（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ x2+kx，M′（x）=f（x）﹣g（x）= ﹣x+k，

，

由ln ﹣ （x1+x2）（x1﹣x2）=﹣k（x1﹣x2），

∴﹣k= ﹣x0，結合 ，

可得：ln = = ，

令u= ∈（0，1），

∴lnu﹣ =0，u∈（0，1），

設y=lnu﹣ ，u∈（0，1），

y′= + = = ＞0，

所以函數y=lnu﹣ ，在（0，1）上單調遞增，

因此，y＜0，即lnu﹣ ＜0，也就是ln ＜ ，此時與ln = 矛盾，所以數M（x）在（x0，M（x0））處的切線不能平行于直線y=1

【解析】（1）求得h（x）及h′（x），由題意可知k≥ ，及k=m+ 求得m的取值范圍；（2）求得M（x）及M′（x），采用反證法，假設，函數M（x）在（x0 ， M（x0））處的切線平行于直線y=1，根據題意列出方程，求得k的解析式，構造輔助函數，利用導數求得函數的單調性及最值，判斷與已知是否相符，即可驗證是否存在函數M（x）在（x0 ， M（x0））處的切線平行于直線y=1，
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．