Question

【題目】若函數滿足：對任意實數，方程的解的個數為偶數（可以是0個，但不能是無數個），則稱為“偶的函數”.證明：

（1）任何多項式均不是偶的函數；

（2）存在連續函數是偶的函數.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）注意到，多項式的定義域為R，將其劃分為如下增減交替的單調區間：

，，，

其中，為所有的極值點.

不妨設的首項系數為正.

若為奇數，則、均為單調遞增區間.

且，.

取，則方程僅在區間上有一解，此時，不是偶的函數.

若為偶數，則為單調遞減區間，為單調遞增區間.故k為奇數.從而，必存在一個極值恰被奇數個取到.

考慮方程的根，根據各區間的增減交替性，恰有偶數個區間含有這些根，每個區間內根的個數為1，但其中在極值點處取到的根均被計算了兩遍，故應扣除奇數個.

因此，方程的根是奇數個，即不是偶的函數.

綜上，任何多項式均不是偶的函數.

（2）構造一個的例子.

當x為正奇數或x=0時，定義=x；

當x為正偶數時，定義=x-2；

當x為負奇數時，定義=-x+1；

當x為負偶數時，定義=-x-1.

當時，定義.

這樣定義的函數是連續的.

可以驗證，當時，無解；

當時，恰有兩個解；

當時，恰有四個解.

故所構造的為一個偶的函數.