Question

【題目】已知函數f（x）= +x．
（1）若函數f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線經過點（0，﹣1），求a的值；
（2）是否存在負整數a，使函數f（x）的極大值為正值？若存在，求出所有負整數a的值；若不存在，請說明理由；
（3）設a＞0，求證：函數f（x）既有極大值，又有極小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，f′（1）=1，f（1）=ae+1

∴函數f（x）在（1，f（1））處的切線方程為：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直線過點（0，﹣1）

∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣

（2）解：若a＜0，∵ （x≠0），

當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＞0恒成立，函數在（﹣∞，0）上無極值；

當x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，函數在（0，1）上無極值；

在x∈（1，+∞）時，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，則H′（x）=（aex+2）x，

∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a為負整數∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e

∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上單調減，

又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴x0∈（1，2），使得H（x0）=0

且1＜x＜x0時，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0時，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；

∴f（x）在x0處取得極大值 （*）

又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴ 代入（*）得：

，∴不存在負整數a滿足條件

（3）解：設g（x）=aex（x﹣1）+x2，則g′（x）=（aex+2）x，

因為a＞0，所以，當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；

當x＜0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；故g（x）至多兩個零點．

又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0

再由g（x）在（0，+∞）上單調遞增知，

當x∈（0，x1）時，g（x）＜0，故f′（x）= ，f（x）單調遞減；

當x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，故故f′（x）= ，f（x）單調遞增；

所以函數f（x）在x1處取得極小值．

當x＜0時，ex＜1，且x﹣1＜0，

所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，

函數y=x2+ax﹣a是關于x的二次函數，必存在負實數t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，

故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，

再由g（x）在（﹣∞，0）上單調遞減知，

當x∈（﹣∞，x2）時，g（x）＞0，故f′（x）= ，f（x）單調遞增；

當x∈（x2，0）時，g（x）＜0，故f′（x）= ，f（x）單調遞減；

所以函數f（x）在x2處取得極大值．

綜上，函數f（x）既有極大值，又有極小值

【解析】（1）第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導數；第三步利用點斜式求出直線方程．（2）根據可導函數極值的定義，找到極值點，求出極值，當極大值為正數時，從而判定負整數是否存在；（3）利用單調性與極值的關系，求證：既存在極大值，有存在極小值．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．