Question

如下圖所示，在邊長為l的等邊△ABC中，⊙O₁為△ABC中內切圓，⊙O₂與⊙O₁外切，且與AB、BC相切，…，⊙O_n+1與⊙O_n外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續下去，記⊙O_n的面積為a_n（n∈N^*）.

（1）證明{a_n}是等比數列；

（2）求（a₁+a₂+…+a_n）的值.

Answer 1

分析:與幾何圖形有關的應用問題，首先結合圖形分析相鄰圖形的依賴關系，論證所求問題是否組成一個等比數列且公比的絕對值小于1，然后計算.

解:（1）記r_n為圓O_n的半徑，則r₁=tan30°=l，

=sin30°=,

所以r_n=r_n-1（n≥2）.

于是a₁=πr₁²=,

=（）²=,

故{a_n}成等比數列.

（2）因為a_n=（）^n-1a₁（n∈N^*）,

所以（a₁+a₂+…+a_n）

==.