Question

在一次數(shù)學實踐活動課上，老師給一個活動小組安排了這樣的一個任務：設(shè)計一個方案，將一塊邊長為4米的正方形鐵片，通過裁剪、拼接的方式，將它焊接成容積至少有5立方米的長方體無蓋容器（只有一個下底面和側(cè)面的長方體）．該活動小組接到任務后，立刻設(shè)計了一個方案，如下圖所示，按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個相同的小正方形后，將剩下的部分焊接成長方體（如圖2）．請你分析一下他們的設(shè)計方案切去邊長為多大的小正方形后能得到的最大容積，最大容積是多少？是否符合要求？若不符合，請你幫他們再設(shè)計一個能符合要求的方案，簡單說明操作過程和理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切去正方形邊長為x，利用長方體的體積公式求得其容積表達式，再利用導數(shù)研究它的極值，進而得出此函數(shù)的最大值即可．（2）在（1）中之所以不符合要求，主要原因是因為裁去四個相同的小正方形形成資源浪費，沒有充分利用現(xiàn)有材料，重新設(shè)計方案時，必須充分考慮材料不浪費．

解答：解：（1）設(shè)切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4-2x，高為x，
所以V₁=（4-2x）²•x=4（x³-4x²+4x）（0＜x＜2）．（4分）
∴V₁′=4（3x²-8x+4），（5分）
令V₁′=0，即4（3x²-8x+4）=0，解得x₁=

2

3

，x₂=2（舍去）．（7分）
∵V₁在（0，2）內(nèi)只有一個極值，
∴當x=

2

3

時，V₁取得最大值

128

27

．

128

27

＜5，即不符合要求（9分）
（2）重新設(shè)計方案如下：
如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；如圖③，將圖②焊成長方體容器．新焊長方體容器底面是一個長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V₂=3×2×1=6，顯然V₂＞5．
故第二種方案符合要求．
（13分）
注：第二問答案不唯一．

點評：利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，關(guān)鍵是要建立恰當?shù)臄?shù)學模型，把問題中所涉及的幾個變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式，這需要通過分析、聯(lián)想、抽象和轉(zhuǎn)化完成．函數(shù)的最值要由極值和端點的函數(shù)值確定．當函數(shù)定義域是開區(qū)間且在區(qū)間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．