Question

【題目】已知☉O:x2+y2=1和定點A(2,1),由☉O外一點P(a,b)向☉O引切線PQ,切點為Q,且滿足|PQ|=|PA|.

(1)求實數a,b間滿足的等量關系.

(2)求線段PQ長的最小值.

(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點,試求半徑取最小值時☉P的方程.

Answer 1

【答案】(1) 2a+b-3= (2) (3) (x-)2+(y-)2=(-1)2

【解析】(1)連接OP,

∵Q為切點,

∴PQ⊥OQ,

由勾股定理有|PQ|2=|OP|2-|OQ|2.

又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|2=|PA|2.

即(a2+b2)-12=(a-2)2+(b-1)2.

化簡得實數a,b間滿足的等量關系為:2a+b-3=0.

(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.

|PQ|==

==.

故當a=時,|PQ|min=.即線段PQ長的最小值為.

方法二:由(1)知,點P在直線l:2x+y-3=0上.

∴|PQ|min=|PA|min,即求點A到直線l的距離.

∴|PQ|min==.

(3)設☉P的半徑為R,

∵☉P與☉O有公共點,☉O的半徑為1,

∴|R-1|≤|OP|≤R+1.

即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.

而|OP|==

=,

故當a=時,|OP|min=.

此時,b=-2a+3=,Rmin=-1.

得半徑取最小值時☉P的方程為(x-)2+(y-)2=(-1)2.