Question

【題目】已知函數f(x)＝2x－.

(1)判斷函數的奇偶性，并證明；

(2)用單調性的定義證明函數f(x)＝2x－在(0，＋∞)上單調遞增．

Answer 1

【答案】(1)函數f(x)＝2x－是奇函數．

證明如下：易知f(x)的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．

因為f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．

(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)＝2x2－－＝2(x2－x1)＋5＝(x2－x1)，

因為0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上單調遞增．

【解析】

（1）由定義判斷與的關系，即可判斷函數奇偶性；

（2）由定義證明單調性，假設定義域內的兩自變量的值，作差求的符號，進而判斷單調性.

(1)函數f(x)＝2x－是奇函數．

證明如下：易知f(x)的定義域為{x|x≠0}，關于原點對稱．

因為f(－x)＝2(－x)－＝－2x＋＝－＝－f(x)，所以f(x)是奇函數．

(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

則f(x2)－f(x1)

＝2x2－－

＝2(x2－x1)＋5

＝(x2－x1)，

因為0<x1<x2，所以x2－x1>0，x1x2>0，

所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，

所以f(x)＝2x－在(0，＋∞)上單調遞增．