Question

【題目】如下圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.

(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

(2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝3或3x＋4y－12＝0；（2）

【解析】試題分析：（1）兩直線方程聯立可解得圓心坐標，又知圓的半徑為，可得圓的方程，根據點到直線距離公式，列方程可求得直線斜率，進而得切線方程；（2）根據圓的圓心在直線：上可設圓的方程為，由可得的軌跡方程為，若圓上存在點，使，只需兩圓有公共點即可.

試題解析：（1）由得圓心，

∵圓的半徑為1，

∴圓的方程為：，

顯然切線的斜率一定存在，設所求圓的切線方程為，即．

∴，

∴，∴或．

∴所求圓的切線方程為或．

（2）∵圓的圓心在直線：上，所以，設圓心為，

則圓的方程為．

又∵，

∴設為，則，整理得，設為圓．

所以點應該既在圓上又在圓上，即圓和圓有交點，

∴，

由，得，

由，得．

綜上所述，的取值范圍為．