Question

【題目】在平面直角坐標系中，定長為3的線段兩端點、分別在軸，軸上滑動，在線段上，且.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設點是軌跡上一點，從原點向圓作兩條切線分別與軌跡交于點，，直線，的斜率分別記為，.

①求證：；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）2.5

【解析】

設，，，根據，可得，，再根據，即可求出軌跡方程，因為直線OP：，OQ：，與圓R相切，推出，是方程的兩個不相等的實數根，利用韋達定理推出結合點在橢圓C上，證明．當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設，，通過，推出，利用，，在橢圓C上，推出，即可求出的最大值．

設，，，

．

，

，，

，，

，

，

即，

證明：直線OP：，OQ：，與圓相切，

直線OP：與圓M：聯立，

可得

同理，

由判別式為0，可得，是方程的兩個不相等的實數根，

，

點在橢圓C上，所以，

；

當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設，，

，

，即，

，在橢圓C上，

，

整理得，

．

當直線落在坐標軸上時，顯然有，

綜上：

，

的最大值為．