Question

【題目】若定義在上的函數滿足條件：存在實數且，使得：

⑴ 任取，有（是常數）；

⑵ 對于內任意，當，總有.

我們將滿足上述兩條件的函數稱為“平頂型”函數，稱為“平頂高度”，稱為“平頂寬度”.根據上述定義，解決下列問題：

（1）函數是否為“平頂型”函數？若是，求出“平頂高度”和“平頂寬度”；若不是，簡要說明理由.

（2） 已知是“平頂型”函數，求出的值.

（3）對于（2）中的函數，若在上有兩個不相等的根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)是 “平頂型”函數，平頂高度為，平頂寬度為;

⑵;(3).

【解析】

(1)利用零點分段討論法去掉絕對值，轉化為分段函數，結合“平頂型”函數的定義可得；

（2）結合“平頂型”函數的定義可得方程組，求解方程組可得；

（3）根據分段函數的特點，逐段進行求解即可.

(1)，

則存在區間使時,,

且當和時，恒成立.

所以函數是 “平頂型”函數，平頂高度為，平頂寬度為.

⑵ 存在區間，使得恒成立

則恒成立，則或

當時，不是“平頂型”函數.

當時，是“平頂型”函數.

(3)時，，則，得或;

時，，則，得;

所以.