Question

【題目】選修4-4；坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．在以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸的極坐標中，曲線．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程．

（Ⅱ）求曲線上的點到直線的距離的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】試題分析： (Ⅰ) 消去得直線的普通方程為. 由極坐標與直角坐標互化公式 ，可得曲線的直角坐標方程為, 即.

(Ⅱ) 設曲線上的點為,

則點到直線的距離為 當時, , 可得曲線上的點到直線的距離的最大值為.

試題解析：

(Ⅰ) 由 消去得,

所以直線的普通方程為.

由,

得.

將代入上式,

得曲線的直角坐標方程為, 即.

(Ⅱ) 法1:設曲線上的點為,

則點到直線的距離為

當時, ,

所以曲線上的點到直線的距離的最大值為.

法2: 設與直線平行的直線為,

當直線與圓相切時, 得,

解得或 (舍去),

所以直線的方程為.

所以直線與直線的距離為.

所以曲線上的點到直線的距離的最大值為.