Question

【題目】已知向量，，設函數．

（1）若函數的圖象關于直線對稱，且時，求函數的單調增區間；

（2）在（1）的條件下，當時，函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據平面向量數量積運算求解出函數，利用函數的圖象關于直線對稱，且可得，結合三角函數的性質可得其單調區間；（2）當時，求出函數的單調性，函數有且只有一個零點，利用其單調性求解求實數的取值范圍.

試題解析：

解：向量，，

（1）∵函數圖象關于直線對稱，

∴，解得：，∵，∴，

∴，由，

解得：，

所以函數的單調增區間為．

（2）由（1）知，∵，

∴，

∴，即時，函數單調遞增；

，即時，函數單調遞減．

又，

∴當或時函數有且只有一個零點．

即或，

所以滿足條件的．