Question

已知長方體中，底面為正方形，面，，，點在棱上，且．

（Ⅰ）試在棱上確定一點，使得直線平面，并證明；
（Ⅱ）若動點在底面內，且，請說明點的軌跡，并探求長度的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）點在平面內的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧，且長度的最小值為．

試題分析：（Ⅰ）先利用證明四邊形為平行四邊形證明從而證明直線平面，或者可以以平面為已知條件出發，利用直線與平面平行的性質定理得到，進而確定點的位置；（Ⅱ）先確定四邊形的形狀以及各邊的長度，然后再根據以及點為定點這一條件確定點的軌跡，在計算的過程中，可以利用平面以及從而得到平面，于是得到，進而可以由勾股定理，從而將問題轉化為當取到最小值時，取到最小值.
試題解析：（Ⅰ）取的四等分點，使得，則有平面. 證明如下：   1分
因為且，
所以四邊形為平行四邊形，則，   2分
因為平面，平面，所以平面．   4分
（Ⅱ）因為,所以點在平面內的軌跡是以為圓心，半徑等于2的四分之一圓弧．      6分
因為，面，所以面，       7分
故．      8分
所以當的長度取最小值時，的長度最小，此時點為線段和四分之一圓弧的交點，      10分

即，
所以．
即長度的最小值為．      12分