Question

直三棱柱中，，，、分別為、的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四面體的體積．

Answer 1

(Ⅰ)先證AB⊥平面BB₁C₁C.又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點，證出NF⊥平面BB₁C₁C. NF⊥FC .
證得FC⊥平面NFB.  
(Ⅱ)．

試題分析：(Ⅰ)直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,
B₁B⊥AB, BC⊥AB,又B₁BBC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C.
又Ｎ、Ｆ分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點
∴AB∥A₁B₁∥NF.
∴NF⊥平面BB₁C₁C.
因為FC平面BB₁C₁C.所以NF⊥FC .
取BC中點G，有BG=GF=GC.∴BF⊥FC ，又 NFFB=F，
∴FC⊥平面NFB.           7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,,

．            14分
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，若利用向量則可簡化證明過程。（2）體積計算中，運用了“等積法”。