Question

已知中，，，為的中點，分別在線段上的動點，且，交于，把沿折起，如下圖所示，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，若存在求的長，若不存在說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在，且．

試題分析：（Ⅰ）這是一個折疊問題，做這一類題，需比較折疊前的圖形與折疊后的圖形，找那些量發生變化，那些量沒發生變化，本題求證：平面，證明線面平行，可先證線線平行，也可先證面面平行，注意到，，，可證面面平行，即證平面//平面即可；（Ⅱ）當二面角為直二面角時，是否存在點，使得直線與平面所成的角為，此屬探索性命題，解此類題一般都先假設存在，若求出線段長，就存在，否則就不存在，此題因為二面角為直二面角，則平面，故與平面所成角為，求出的長，從而得，故存在點，且．
試題解析：（Ⅰ），又為的中點
，又  2分
在空間幾何體中，，則平面，，則平面，
平面//平面，平面  6分
（Ⅱ）∵二面角為直二面角，平面平面
，平面，  8分
在平面內的射影為，與平面所成角為，  10分
由于，，    12分