Question

在如圖所示的幾何體中，是邊長為2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．

（1）若AE=2，求證：AC∥平面BDE；
（2）若二面角A—DE—B為60°．求AE的長。

Answer 1

（1）根據題意由于可以得到∥，又平面，平面，從而得到證明。
（2）

試題分析：（1）分別取 的中點,連接,則∥,∥,且，

因為，,為的中點，
所以,，
又因為平面⊥平面，
所以平面．     3分
又平面,
所以∥，  5分
所以∥，且,因此四邊形為平行四邊形，
所以∥，所以∥，又平面，平面，
所以∥平面. 7分
（或者建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，計算即證）

（2）解法一:
過作垂直的延長線于,連接.
因為,,
所以平面,平面
則有.
所以平面,平面,
所以.
所以為二面角的平面角，
即.    10分
在中，，則 ,.
在中，.
設，則,所以，又
在中,,即=，
解得，所以．       14分
解法二:
由（1）知平面，,
建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，則,,
,，
,.
設平面的法向量
則所以 
令, 所以 ，11分
又平面的法向量，
所以，
解得， 即．        14分
點評：主要是考查了空間中線面平行的運用，以及二面角的平面角的求解，屬于基礎題。