Question

自然狀態下的魚類是一種可再生資源，為持續利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^*，且x₁＞0.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.
（Ⅰ）求x_n+1與x_n的關系式；
（Ⅱ）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）
（Ⅲ）設a＝2，b>0，c=1為保證對任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論.

Answer 1

（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

（II）猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.
（Ⅲ）為保證對任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.

本題是對數列、函數、數學歸納法等知識的綜合考查，在作數列方面的應用題時，一定要認真真審題，仔細解答，避免錯誤．
（Ⅰ）利用題中的關系求出魚群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到xn+1與xn的關系式；
（Ⅱ）每年年初魚群的總量保持不變就是xn恒等于x1，轉化為xn+1-xn=0恒成立，再利用（Ⅰ）的結論，就可找到x1，a，b，c所滿足的條件；
（Ⅲ）先利用（Ⅰ）的結論找到關于xn和b的不等式，再利用x1∈（0，2），求出b的取值范圍以及b的最大允許值，最后在用數學歸納法進行證明即可．
解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁， n∈N*，從而由（*）式得

因為x₁>0，所以a>b.
猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.
（Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知
0<x_n<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.
而x₁∈(0, 2)，所以
由此猜測b的最大允許值是1.
下證 當x₁∈(0, 2) ，b=1時，都有x_n∈(0, 2), n∈N*
①當n=1時，結論顯然成立.
②假設當n=k時結論成立，即x_k∈(0, 2),
則當n=k+1時，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.
又因為x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,
所以x_k+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).
綜上所述，為保證對任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.