Question

【題目】經過函數性質的學習，我們知道：“函數的圖象關于軸成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數”.

（1）若為偶函數，且當時，，求的解析式，并求不等式的解集；

（2）某數學學習小組針對上述結論進行探究，得到一個真命題：“函數的圖象關于直線成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數”.若函數的圖象關于直線對稱，且當時，.

（i）求的解析式；

（ii）求不等式的解集.

Answer 1

【答案】(1) 不等式的解集是或．(2) ,（ii）不等式的解集為．

【解析】

（1）根據函數對稱性得出在上的解析式，再列出不等式得出不等式的解集；

（2）根據是偶函數得出在上的解析式，（ii）根據單調性和對稱性列不等式得出解集．

（1）設，則，則，

又為偶函數，所以．

所以.

因為為偶函數，且在，上是減函數，

所以等價于，

即，解得或．

所以不等式的解集是或．

（2）因為的圖象關于直線對稱，所以為偶函數，

所以，即對任意恒成立．

又當時，，

所以．

所以

任取，，，且，則，

因為，所以，又，，

所以，即．

所以函數在，上是增函數，

又因為函數的圖象關于直線對稱，

所以等價于，

即，解得．

所以不等式的解集為．