Question

已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率e＝，連結橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B.已知點A的坐標為(－a，0)．若|AB|＝，求直線l的傾斜角．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）或

(1)由e＝＝，解得3a²＝4c².再由c²＝a²－b²，解得a＝2b.
由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程組得
所以橢圓的方程為＋y²＝1.
(2)由(1)可知點A(－2，0)，設點B的坐標為(x₁，y₁)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．于是A、B兩點的坐標滿足方程組
消去y并整理，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0，
由－2x₁＝，得x₁＝，從而y₁＝，
故|AB|＝＝.
由|AB|＝，得＝.整理得32k⁴－9k²－23＝0，
即(k²－1)(32k²＋23)＝0，解得k＝±1.所以直線l的傾斜角為或