Question

已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點（的位置有關，并證明你的結論；

Answer 1

(1)（或（；(2) （；(3) 的值與點的位置無關

試題分析：（1）注意要分類討論，頂點是短軸頂點，還是長軸頂點；(2)橢圓上到（距離最大的點是與直線（平行且與橢圓相切的點；（3）利用點P在橢圓上滿足橢圓方程，設點P坐標，帶入橢圓方程，通過變形，即可知（=，與k無關.
試題解析：（1）雙曲線（的左右焦點為（,即（的坐標分別為（.  所以設橢圓的標準方程為（,則（,
且（,所以（,從而（,
所以橢圓（的標準方程為（或（
(2) 當（時，（，故直線（的方程為（即（，
設與（平行的直線方程為：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入橢圓方程得：，
 ，∵求距離最大，∴，代入方程，解得：，∴點Q（；
（3）設則，即 
.所以的值與點的位置無關，恒為.