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如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的離心率為,且過點A(0,1).
 
(1)求橢圓的方程;
(2)過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點M、N,求證:直線MN恒過定點P.
(1)+y2=1.(2)見解析
(1)解:由題意知:e=,b=1,a2-c2=1,解得a=2,所以橢圓的標準方程為+y2=1.
(2)證明:設直線AM的方程為y=kx+1(k≠0),由方程組得(4k2+1)x2+8kx=0,解得x1,x2=0,所以xM,yM.用-代替上面的k,可得xN,yN.因為kMP,kNP,所以kMP=kNP,因為MP、NP共點于P,所以M、N、P三點共線,故直線MN恒過定點P.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知橢圓C的方程為+y2=1,A、B是四條直線x=±2,y=±1所圍成的矩形的兩個頂點.

(1)設P是橢圓C上任意一點,若=m+n,求證:動點Q(m,n)在定圓上運動,并求出定圓的方程;
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點,且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的焦距為2,且過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的左右焦點分別為,過點的直線與橢圓C交于兩點.
①當直線的傾斜角為時,求的長;
②求的內切圓的面積的最大值,并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

設F1,F2是橢圓=1的左、右兩個焦點,若橢圓上滿足PF1⊥PF2的點P有且只有兩個,則離心率e的值為(   )
A.B.C.D..

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,連結橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B.已知點A的坐標為(-a,0).若|AB|=,求直線l的傾斜角.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的右焦點F,左、右準線分別為l1:x=-m-1,l2:x=m+1,且l1、l2分別與直線y=x相交于A、B兩點.
(1)若離心率為,求橢圓的方程;
(2)當·<7時,求橢圓離心率的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

如圖,已知橢圓=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,點B在橢圓上,且BF⊥x軸,直線AB交y軸于點P.若=2,則橢圓的離心率是________.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

(1)若C2經過C1的兩個焦點,求C1的離心率;
(2)設A(0,b),Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B(0,b),且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

橢圓=1的離心率為________.

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同步練習冊答案
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