Question

【題目】已知函數f（x）=ex（x2﹣2x+2﹣a2）（a＞0），g（x）=x2+6x+c（c∈R）．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y=﹣4x﹣2，求a的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當a=1時，對x1∈[﹣2，2]，x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x2﹣a2）=ex（x﹣a）（x+a），

由于曲線y=f（x）在點（0，f（0）出的切線為y=﹣4x﹣2，

∴ ，

解得：a=2，

（2）解：令f′（x）=0，ex（x﹣a）（x+a）=0，

解得：x1=a，x2=﹣a，

由f′（x）＞0得：x＜﹣a或x＞a，由f′（x）＜0，﹣a＜x＜a，

∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣a），（a，+∞），單調減區(qū)間為（﹣a，a）；

（3）解：對x1∈[﹣2，2]，x2∈[﹣2，2]，使f（x1）＜g（x2）成立，

等價于f（x）在[﹣2，2]，上的最大值小于g（x）在[﹣2，2]上的最大值，

當a=1時f（x）=ex（x2﹣2x+1），由（Ⅱ）可得f（x）與f（x）在[﹣2，2]，情況下：

x	﹣2	（﹣2，1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	﹣	0	+
f（x）	9e﹣2	增	4e﹣1	減	0	增	e2

由上表可知：f（x）在[﹣2，2上的最大值誒f（2）=e2，

∵g′（x）=2x+f6＞0，在[﹣2，2]上恒成立，

∴g（x）=x2+6x+c在[﹣2，2]上單調遞增，

∴最大值為g（2）=c+16，

f（2）＜g（2），即e2＜c+16，得c＞e2﹣16，

故實數c的取值范圍（e2﹣16，∞）

【解析】（1）求函數的導數，利用函數f（x）在x=0處的切線方程為y=﹣4x﹣2，建立方程關系即可求a的值；（2）求函數的導數，令f′（x）=0，求得方程的兩個解，f′（x）＞0，求得函數的單調遞增區(qū)間，f′（x）＜0，求得函數的單調遞減區(qū)間；（3）當a=1，求得導函數解析式，將原條件轉化成f（x）在[﹣2，2]，上的最大值小于g（x）在[﹣2，2]上的最大值，利用函數單調性求得f（x）和g（x）的最大值，即可求得c的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能得出正確答案．