Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的普通方程及曲線的直角坐標方程，并指出兩曲線的軌跡圖形；

（2）曲線與兩坐標軸的交點分別為、，點在曲線上運動，當曲線與曲線相切時，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）12.

【解析】

(1) 曲線化為普通方程，表示一條直線；曲線對a分類討論明確軌跡的形態；

(2)先求出A，B的坐標，得到，利用圓的切線求出圓上點到直線的最大距離，即可得到結果.

（1）曲線化為普通方程為，是一條直線，

對于曲線：由及代入曲線的極坐標方程得其直角坐標方程為，即為.

當，曲線是以為圓心，為半徑的圓.

當，曲線表示一點.

當，曲線不存在.

（2）由（1）知曲線化為普通方程為，

令，；，，所以，，

又由題可知，曲線：，

由直線與圓相切可知，

解得，此時：，

所以，

所以面積的最大值為12.