Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當(dāng)x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）f（x）的極小值為φ（a），當(dāng)a＞0時，求證： ．（e=2.71828…為自然對數(shù)的底）

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．

則f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，

所以，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=（1﹣4a）（x﹣1）．

（2）解：由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．

①當(dāng) 時，因?yàn)閥=4lnx+1﹣4a為增函數(shù)，所以當(dāng)x≥1時，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，

因此f'（x）≥0．

當(dāng)且僅當(dāng) ，且x=1時等號成立，

所以f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．

因此，當(dāng)x≥1時，f（x）≥f（1）=0．

所以， 滿足題意．

②當(dāng) 時，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ，

解得 ．

因?yàn)? ，所以 ，所以 ．

當(dāng) 時，f'（x）＜0，因此f（x）在 上為減函數(shù)．

所以當(dāng) 時，f（x）＜f（1）=0，不合題意．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．

（3）解：由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ， ．

當(dāng) 時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng) 時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．

所以f（x）的極小值 =

由φ'（a）=1﹣e4a﹣1=0，得 ．

當(dāng) 時，φ'（a）＞0，φ（a）為增函數(shù)；當(dāng) 時，φ'（a）＜0，φ（a）為減函數(shù)．

所以 ．

= = ．

下證：a＞0時， ．

，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

令 ，則 ．

當(dāng) 時，r'（a）＜0，r（a）為減函數(shù)；當(dāng) 時，r'（a）＞0，r（a）為增函數(shù)．所以 ，即 ．

所以 ，即 ．所以 ．

綜上所述，要證的不等式成立．

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的概念求切線的斜率，點(diǎn)斜式寫出方程即可；（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出導(dǎo)函數(shù)，對參數(shù)a分類討論，討論是否滿足題意；（3）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的極小值φ（a），對極小值進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得出極小值的最大值等于零，右右不等式得證，再利用構(gòu)造函數(shù)的方法，通過導(dǎo)函數(shù)證明左式成立．