Question

【題目】已知函數 .

（1）若，試判斷函數的零點個數；

（2）若函數在上為增函數，求整數的最大值.

（可能要用到的數據： ， ， ）

Answer 1

【答案】（1）函數在上的零點有且只有一個（2）整數的最大值為6

【解析】試題分析： 求導，由則恒成立，則在上為增函數，由， ，可以證明在上的零點個數

已知函數為增函數，則其導函數在其定義區間上恒大于等于零，可以求得所滿足的不等式，要使其恒成立則必須，再利用求導，求得函數的的最小值的取值范圍，即可求得整數的最大值

解析：（1）因為，易知在上為增函數，則，故函數在上為增函數，又， ，所以函數在上的零點有且只有一個.

（2）因為，由題意在上恒成立，因為顯然成立，故只需要在上恒成立.

令，則，

因為，

由（1）知在上為增函數，

故函數在有唯一的零點記為.

，

，

則， ，

則當， ， 在為減函數，

則當， ， 在為增函數，

故當時， 有最小值 ，

令，

則有最小值 ，

因為，則有最小值大約在6.17～6.4之間，故整數的最大值為6.