Question

【題目】設函數y=f（x）滿足f（﹣x）+f（x）=0且f（x+1）=f（x﹣1），若x∈（0，1）時，f（x）=log2 ，則y=f（x）在（1，2）內是（ ）
A.單調增函數，且f（x）＜0
B.單調減函數，且f（x）＜0
C.單調增函數，且f（x）＞0
D.單調增函數，且f（x）＞0

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），
即函數f（x）是奇函數，
∵f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f（x），即函數f（x）是周期為2的函數，
設t= ，則函數在x∈（0，1）上為增函數，y=log2t為增函數，則函數f（x）為增函數，
則函數f（x）在（﹣1，0）上為增函數，
∵函數的周期是2，
∴函數f（x）在（1，2）上為增函數，
若x∈（﹣1，0），則﹣x∈（0，1），
則f（﹣x）=log2 ，
∵f（x）是奇函數，∴f（﹣x）=log2 =﹣f（x），
即f（x）=﹣log2 =log2（x+1），
當x∈（﹣1，0），則x+1∈（0，1），則f（x）＜0，
即函數y=f（x）在（1，2）內是單調增函數，且f（x）＜0，
故選：A