Question

【題目】已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E為A1C的中點

（1）求證：D1E∥平面BB1C1C；
（2）求證：BC⊥A1C；
（3）若A1A=AB，求二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取A1B1中點F，連結D1F，EF，B1C，

∵EF是△A1CB1的中位線，∴EF∥CB1，

∵AB∥DC，∴A1B1∥D1C1，

又∵AB=2，AD=1，∠ABC=60°，∴D1C1=1，

∴D1C1=FB1，∴四邊形D1C1B1F為平行四邊形，∴D1F∥C1B1，

又∵EF∩D1F=F，CB1∩C1B1=B1，

∴平面D1EF∥平面BB1C1C，

又∵D1E平面D1EF，∴D1E∥平面BB1C1C．

（2）證明：以A為坐標原點，直線AB、AA1分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，

設AA1=a，則B（0，2，0），C（ ， ，0），A1（0，0，a），

=（ ）， =（ ），

∵ = ，

∴BC⊥A1C．

（3）解：∵A1A=AB=2，

∴A（0，0，0），B1（0，2，2），C（ ，0），A1（0，0，2），

∴ =（ ，0）， =（0，0，2）， =（0，2，2），

設 =（x，y，z）是平面A1AC的法向量，

則 ，取y=1，得 =（﹣ ，1，0），

設 是平面AB1C的法向量，

則 ，取c=1，得 =（ ），

設二面角A1﹣AC﹣B1的平面角為θ，

則cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，

∴二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值為 ．

【解析】（1）取A1B1中點F，連結D1F，EF，B1C，由中位線定理，得EF∥CB1 ， 從而得到四邊形D1C1B1F為平行四邊形，進而平面D1EF∥平面BB1C1C，由此能證明D1E∥平面BB1C1C．（2）以A為坐標原點，直線AB、AA1分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BC⊥A1C．（Ⅲ）求出平面A1AC的法向量和平面AB1C的法向量，利用向量法能求出二面角A1﹣AC﹣B1的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．