Question

【題目】已知函數f（x）=aln（x+1）+x2+1，g（x）=﹣x2﹣2mx+4．

（1）當a＞0時，求曲線y=f（x）的切線斜率的取值范圍；

（2）當a=﹣4時，若存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，滿足f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) [2，+∞）;(2).

【解析】

(1) 函數f′（x）=+2x=根據均值不等式得到最小值為2﹣2，從而得到結果；（2）存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以只要f（x）在x∈[0，1]上的最大值大于等于g（x）在x∈[1，2]的最小值即可.

（1）函數f（x）=aln（x+1）+x2+1的定義域為（﹣1，+∞），

∴f′（x）=+2x= =2﹣2，

當且僅當即x=∈（﹣1，+∞）時取“=”

所以函數y=f（x）圖象上任一點處切線斜率的取值范圍為[2，+∞）．

（2）函數f（x）=﹣4ln（x+1）+x2+1（x＞﹣1），

∴f′（x）=+2x=，

當x∈[0，1]時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，

所以f（x）在[0，1]上最大值為f（0）=1，

因為存在x1∈[0，1]，x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），

所以只要f（x）在x∈[0，1]上的最大值大于等于g（x）在x∈[1，2]的最小值即可，

只要g（1）≤1或g（2）≤1，

即﹣1﹣2m+4≤1或﹣4﹣4m+4≤1，

解得m．