Question

已知無窮數列{a_n}的各項均為正整數，S_n為數列{a_n}的前n項和．
(1)若數列{a_n}是等差數列，且對任意正整數n都有S_n3＝(S_n)³成立，求數列{a_n}的通項公式；
(2)對任意正整數n，從集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重復地任取若干個數，這些數之間經過加減運算后所得數的絕對值為互不相同的正整數，且這些正整數與a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全體正整數組成的集合．
(ⅰ)求a₁，a₂的值；
(ⅱ)求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

（1）a_n＝1或a_n＝2n－1（2）a₁＝1，a₂＝3，a_n＝3^n－1

(1)設無窮等差數列{a_n}的公差為d，因為S_n3＝(S_n)³對任意正整數n都成立，所以分別取n＝1，n＝2時，則有：
因為數列{a_n}的各項均為正整數，所以d≥0.
可得a₁＝1，d＝0或d＝2.(4分)
當a₁＝1，d＝0時，a_n＝1，S_n3＝(S_n)³成立；
當a₁＝1，d＝2時，S_n＝n²，所以S_n3＝(S_n)³.
因此，共有2個無窮等差數列滿足條件，通項公式為a_n＝1或a_n＝2n－1.(6分)
(2)(ⅰ)記A_n＝{1,2，…，S_n}，顯然a₁＝S₁＝1.(7分)
對于S₂＝a₁＋a₂＝1＋a₂，有A₂＝{1,2，…，S_n}＝{1，a₂，1＋a₂，|1－a₂|}＝{1,2,3,4}，
故1＋a₂＝4，所以a₂＝3.(9分)
(ⅱ)由題意可知，集合{a₁，a₂，…，a_n}按上述規則，共產生S_n個正整數．(10分)
而集合{a₁，a₂，…，a_n，a_n＋1}按上述規則產生的S_n＋1個正整數中，除1,2，…，S_n這S_n個正整數外，還有a_n－1，a_n＋1＋i，|a_n＋1－i|(i＝1,2，…，S_n)，共2S_n＋1個數．
所以，S_n＋1＝S_n＋(2S_n＋1)＝3S_n＋1.(12分)
又S_n＋1＋＝3 ，所以S_n＝·3^n－1－＝·3ⁿ－.(14分)
當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝·3ⁿ－－＝3^n－1.(15分)
而a₁＝1也滿足a_n＝3^n－1.
所以，數列{a_n}的通項公式是a_n＝3^n－1.(16分)