Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明: .

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到；分別在、、和四種情況下根據(jù)的符號(hào)確定的單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)定義得到每種情況下極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）由（1）的結(jié)論和可求得，從而得到，代入函數(shù)解析式可得；令可將化為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而得到，進(jìn)而得到結(jié)論.

（1）

①當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

為的唯一極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，即此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

⑴當(dāng)時(shí)，

和時(shí)，；時(shí)，

在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)

⑵當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立且不恒為

在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)

⑶當(dāng)時(shí)，

和時(shí)，；時(shí)，

在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

為的極大值點(diǎn)，為的極小值點(diǎn)，即極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)

綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)

（2）由（1）知，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則

又，即

令，則 ，

則

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

，即