Question

【題目】如果數列對于任意，都有，其中為常數，則稱數列是“間等差數列”，為“間公差”.若數列滿足，，.

（1）求證：數列是“間等差數列”，并求間公差；

（2）設為數列的前n項和，若的最小值為-153，求實數的取值范圍；

（3）類似地：非零數列對于任意，都有，其中為常數，則稱數列是“間等比數列”，為“間公比”.已知數列中，滿足，，，試問數列是否為“間等比數列”，若是，求最大的整數使得對于任意，都有；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）63.

【解析】

（1）直接利用定義求出數列為間等差數列．

（2）利用分類討論思想，利用數列的前n項和公式求出數列的和，進一步利用不等量關系求出結果．

（3）利用分類討論思想，進一步求出數列的通項公式，再利用函數的單調性求出k的最大值．

（1）若數列{an}滿足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，則：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35，

兩式相減得：an+2﹣an＝2．故數列{an}是“間等差數列”，公差d＝2．

（2）（i）當n＝2k時，

（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝

易知：當n＝18時，最小值S18＝﹣153．

（ii）當n＝2k+1時，

Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，

當n＝17時最小，其最小值為S17＝a﹣136，要使其最小值為﹣153，

則：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．

（3）易知：cncn+1＝2018（）n﹣1，則：cn+1cn+2＝2018（）n，

兩式相除得：，故數列{cn}為“間等比數列”，其間等比為．，

易求出數列的通項公式為：，

由于n＞n+1，則數列{n}單調遞減．那么，奇數項和偶數項都為單調遞減，所以：k＞0．

要使數列為單調遞減數列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，

即：，

解得，即最大的整數.