Question

【題目】已知函數f(x)＝－x3＋2x2＋2x，若存在滿足0≤x0≤3的實數x0，使得曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線與直線x＋my－10＝0垂直，則實數m的取值范圍是(　　)

A. [6，＋∞)B. (－∞，2]

C. [2,6]D. [5,6]

Answer 1

【答案】C

【解析】

先求函數的導數，進而求出切線的斜率，由兩直線垂直斜率之積等于﹣1，得到4x0﹣x02+2=m，再由二次函數求出最值即可．

函數f（x）=﹣x3+2x2+2x的導數為f′（x）=﹣x2+4x+2．

曲線f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率為4x0﹣x02+2，

由于切線垂直于直線x+my﹣10=0，則有4x0﹣x02+2=m，

由于0≤x0≤3，由4x0﹣x02+2=﹣（x0﹣2）2+6，對稱軸為x0=2，

當且僅當x0=2，取得最大值6；

當x0=0時，取得最小值2．故m的取值范圍是[2，6]．

答案：C