Question

如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長為1的正方形，側棱，


（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）若棱上存在一點，使得，
當二面角的大小為時，求實數的值．

Answer 1

以所在直線分別為軸，軸，軸建系
（Ⅱ）.

解析試題分析：(I)（Ⅰ）連接BD交AC于點O
∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD
∴AC⊥A₁B。
以所在直線分別為軸，軸，軸建系
（Ⅱ）∵   ∴，設平面的一個法向量為，
，
令則，，
∴ 6分
設平面的一個法向量為
,
 
∴   8分
       10分
∴    12分
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。本題利用空間向量知識解答，關鍵點是建立適當地空間直角坐標系。