Question

【題目】面對擁堵難題，濟(jì)南治堵不舍晝夜.軌道交通1號線已于2019年元旦通車試運(yùn)行，比原定工期提前8個月，其他各條地鐵線路的建設(shè)也正在如火如荼的進(jìn)行中，完工投入運(yùn)行后將給市民出行帶來便利.已知某條線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔為（單位：分鐘），并且.經(jīng)市場調(diào)研測算，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔相關(guān)，當(dāng)時，地鐵為滿載狀態(tài)，載客量為450人；當(dāng)時，載客量會減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時的載客量為258人，記地鐵載客量為（單位：人）.

（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時間間隔為5分鐘時，地鐵的載客量；

（2）若該線路每分鐘的利潤為（單位：元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該線路每分鐘的利潤最大.

Answer 1

【答案】（1） ,人；

（2）當(dāng)發(fā)車時間間隔分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元.

【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合題的條件，利用函數(shù)類型，利用待定系數(shù)法求得結(jié)果，將自變量代入解析式，求得對應(yīng)的函數(shù)值；

（2）先求出的解析式，再求出分段函數(shù)每一段上的最大值，比較大小，求得最值.

（1）由題意知（為常數(shù) ）

因?yàn)?/span> ，得 ．

所以

得 （人）．

（2）由 可得

，

當(dāng) 時， ，

任取 ，且，則

，

因?yàn)?/span>，所以，所以 ，

所以 在上為增函數(shù)，

最大值為；

當(dāng)時， ，當(dāng)時等號成立．

所以當(dāng)發(fā)車時間間隔分鐘時，該線路每分鐘的利潤最大，最大值為80元．