Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1： （a＞b＞0）的左焦點為F1（﹣1，0），且點P（0，1）在C1上．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2=4x相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，

點P（0，1）代入橢圓 ，得 ，即b=1，

所以a2=b2+c2=2

所以橢圓C1的方程為

（2）解：直線l的斜率顯然存在，

設直線l的方程為y=kx+m，

由 ，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

因為直線l與橢圓C1相切，

所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0

整理得2k2﹣m2+1=0①

由 ，消去y并整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0

因為直線l與拋物線C2相切，所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=0

整理得km=1②

綜合①②，解得 或

所以直線l的方程為 或

【解析】（1）因為橢圓C1的左焦點為F1（﹣1，0），所以c=1，點P（0，1）代入橢圓 ，得b=1，由此能求出橢圓C1的方程．（2）設直線l的方程為y=kx+m，由 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因為直線l與橢圓C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直線l的方程．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．