Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，離心率為。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是橢圓上不同的三點，若直線的斜率之積為，試問從兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）兩點的橫坐標之和為0，詳見解析

【解析】

（1）先由題中條件，得到，再由離心率求出，得到，進而可得橢圓方程；

（2）設三點坐標分別為，直線的斜率分別為，得到直線的方程為：，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理表示出與，再結合，即可得到結果.

（1）由橢圓的右焦點得，

又離心率得，

所以橢圓的標準方程為：

（2）兩點的橫坐標之和為0，理由如下

設三點坐標分別為，直線的斜率分別為，

則直線的方程為：，

由方程組，消去得：

，

，

故，同理可得：，

又，即，

從而，

即兩點的橫坐標之和為常數零