Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，M是BC的中點(diǎn)，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF= ．
（1）求證：ME⊥平面ADE；
（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NE，

則AD⊥NM，AD⊥NE，

∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，

過(guò)E點(diǎn)，作EO⊥NM于O，

根據(jù)題意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE= ，EM=2 ，

∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，

∴ME⊥面ADE．

（2）解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，

根據(jù)題意得：

A（2，﹣1，0），B（2，3，0），D（﹣2，﹣1，0），E（0，0， ），M（0，3，0），

設(shè)平面BAE的法向量 =（x，y，z），

∵ =（0，4，0）， =（﹣2，1， ），

∴ ，取z=2，得 =（ ，0，2），

由（1）知 =（0，﹣3， ）為平面ADE的法向量，

設(shè)二面角B﹣AE﹣D的平面角為θ，

則cosθ= = ，

∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NE，推導(dǎo)出AD⊥ME，過(guò)E點(diǎn)，作EO⊥NM于O，推導(dǎo)出NE⊥ME，由此能證明ME⊥面ADE．（2）建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．