Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，， ，，，，為側棱上一點.

（Ⅰ）若，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在側棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）存在，線段PF長.

【解析】

（Ⅰ）設，連結，由，得，進而證明，即可證明；（Ⅱ）由勾股定理推導，進而證明平面即可求解；（Ⅲ）在平面內作于點，證明平面，進而在直角三角形PAD中求長度

（Ⅰ）設，連結，

由已知，，,得

.

由,得.

在中，由，得.

因為平面，平面，

所以 平面.

（Ⅱ）因為平面，平面，

所以.

由已知得，，，

所以.

所以.

又，所以平面.

因為平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）在平面內作于點，

由，，，

得平面.

因為平面，所以.

又，所以平面.

由，，，

得.