Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)證明：.

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明見解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后分與兩種情況分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,求得最小值從而得出當(dāng)時,,再構(gòu)造函數(shù)式證明.或構(gòu)造,求導(dǎo)后根據(jù)隱零點(diǎn)的方法證明.

(1)依題意,的定義域為,

,

當(dāng)時,；當(dāng)時,.

①當(dāng)時,若,則；若,則.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時,若,則；若,則.

所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

(2)法一：由(1)知,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,

故當(dāng)時,.

又當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,,故,

所以.

(2)法二：令,則,

令,則為增函數(shù),且

,,

所以有唯一的零點(diǎn),,

所以當(dāng)時,,為減函數(shù)；當(dāng)時,為增函數(shù).

所以.

由(1)知,當(dāng)時,在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故

,即,

所以,

所以,故.