Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起，設折起后點A的位置為A′，使二面角A′—BD—C為直二面角，給出下面四個命題：①A′D⊥BC；②三棱錐A′—BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正確命題的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據，，，， 易得 ，再根據，平面平面，得平面，可判斷③的正誤；由二面角為直二面角，可得平面，則可求出，進而可判斷②的正誤；根據平面，有， 得平面，④利用面面垂直的判定定理判斷④的正誤；根據平面，有，若，則可證平面，則得到，與已知矛盾，進而可判斷①的正誤.

由題意，取中點，連接，則折疊后的圖形如圖所示：

由二面角為直二面角，可得平面，則，

＝，②正確，

∵，，且，

∴平面，故③正確，

∵，由幾何關系可得，，

∴，∴，

由平面，得，又

∴平面，∵平面，

∴　平面平面，④正確，

平面，，若，則可證平面，則得到，與已知矛盾，所以①錯誤.

故選C.