Question

某校高三(1)班的一次數學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，可見部分如下：

試根據圖表中的信息解答下列問題：
(1)求全班的學生人數及分數在[70,80)之間的頻數；
(2)為快速了解學生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70,80)，[80,90)和[90,100]分數段的試卷中抽取8份進行分析，再從中任選3人進行交流，求交流的學生中，成績位于[70,80)分數段的人數X的分布列和數學期望．

Answer 1

(1) 20    (2) X的分布列為

X	0	1	2	3
P

解：(1)由莖葉圖可知，分數在[50,60)上的頻數為4，頻率為0.008×10＝0.08，故全班的學生人數為＝50.
分數在[70,80)之間的頻數等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.
(2)按分層抽樣原理，三個分數段抽樣數之比等于相應人數之比．
又[70,80)，[80,90)和[90,100]分數段人數之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的樣本中分數在[70,80)之間的有5人，分數在[80,90)之間的有2人，分數在[90,100]之間的有1人．
從中任取3人，共有C₈³＝56種不同的結果．
被抽中的成績位于[70,80)分數段的學生人數X的所有取值為0,1,2,3.
它們的概率分別是：
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P

∴X的數學期望為E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.