Question

【題目】如圖，已知拋物線，在軸正半軸上有一點，過點作直線，分別交拋物線于點，過點作垂直于軸分別交于點.當，直線的斜率為1時，.

（1）求拋物線的方程；

（2）判斷是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值1

【解析】

（1），得為焦點，所以，再由直線與拋物線聯立，利用根與系數的關系代入求解；

（2）設，，，，直線，，分別聯立拋物線方程可得，，，.設，，由，，三點共線，通過計算可得，即，關于軸對稱，從而使問題得到解決.

（1）設，，

將直線與拋物線聯立，

得，所以.

由，得即為焦點，

所以，即，

所以拋物線的方程為.

（2）由題意可知，，斜率存在且不為0.

設，，，

設直線，，

與拋物線聯立得，，，

所以，，，.

設，，由，，三點共線，又，，

得

.

同理，

.

所以

.

即，關于軸對稱.

所以，為定值.