Question

【題目】已知函數，，.

（1）討論函數的單調性；

（2）設，證明：，當時，函數恒有兩個不同零點.

Answer 1

【答案】（1）時，在上單調遞增；時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析

【解析】

（1）分別在和兩種情況下討論導函數的正負，從而得到原函數的單調性；

（2）將問題轉化為當時，與恒有兩個不同的交點的證明；利用導數可求得的單調性和最值，從而確定的范圍，解得的范圍.

（1）由題意得：，

①當時，，在上單調遞增；

②當時，令，解得：，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；

綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）由題意得：，

令，解得：，

令，則問題等價于當時，與恒有兩個不同的交點，

，

當時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

，又時，；時，，

當時，與恒有兩個不同的交點，

即，與恒有兩個不同的交點，

當時，在上恒有兩個不同的零點.