Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax，（e為自然對數的底數）． （Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意實數x恒有f（x）≥0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）=ex﹣ax，f′（x）=ex﹣a， 當a≤0時，f′（x）＞0，則f（x）在R上單調遞增；
當a＞0時，令f′（x）=ex﹣a=0，得x=lna，
則在（﹣∞，lna]上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax，f'（x）=ex﹣a，
若a＜0，則f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，
當x趨近于負無窮大時，f（x）趨近于負無窮大；
當x趨近于正無窮大時，f（x）趨近于正無窮大，
故a＜0不滿足條件．
若a=0，f（x）=ex≥0恒成立，滿足條件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
當x＜lna時，f'（x）＜0；當x＞lna時，f'（x）＞0，
所以函數f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
所以函數f（x）在x=lna處取得極小值f（lna）=elna﹣alna=a﹣alna，
由f（lna）≥0得a﹣alna≥0，
解得0＜a≤e．
綜上，滿足f（x）≥0恒成立時實數a的取值范圍是[0，e]
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a得到范圍，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）由f（x）=ex﹣ax﹣a，f'（x）=ex﹣a，從而化恒成立問題為最值問題，討論求實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．